ربما تساءل العديد من الطلاب الذين يدرسون الرياضيات المتقدمة في الدورات المتقدمة: أين تُستخدم المعادلات التفاضلية (DE) في الممارسة؟ كقاعدة عامة ، لا تتم مناقشة هذه المشكلة في المحاضرات ، ويتابع المعلمون على الفور إلى حل نظرية التحكم دون توضيح للطلاب استخدام المعادلات التفاضلية في الحياة الواقعية. سنحاول سد هذه الفجوة.
نبدأ بتحديد معادلة تفاضلية. لذا ، فإن المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط قيمة دالة مشتقة بالدالة نفسها ، وقيم متغير مستقل وبعض الأرقام (المعلمات).
المجال الأكثر شيوعًا الذي يتم فيه تطبيق المعادلات التفاضلية هو الوصف الرياضي للظواهر الطبيعية. كما أنها تستخدم في حل المشاكل حيث من المستحيل إنشاء علاقة مباشرة بين بعض القيم التي تصف العملية. تنشأ مثل هذه المهام في علم الأحياء والفيزياء والاقتصاد.
في علم الأحياء:
أول نموذج رياضي كبير يصف المجتمعات البيولوجية كان نموذج Lotka-Volterra. يصف مجموعة من نوعين متفاعلين. يموت الأول منهم ، المفترسون ، وفقًا للقانون x '= –ax (a> 0) في غياب الضحية الثانية ، والثاني ، في غياب الحيوانات المفترسة يتكاثر بشكل غير محدود وفقًا لقانون مالتوس. تفاعل هذين النوعين على غرار ما يلي. يموت الضحايا بمعدل يساوي عدد لقاءات المفترسين والضحايا ، والذي يفترض في هذا النموذج أنه يتناسب مع عدد السكان ، أي يساوي dxy (d> 0). لذلك ، y '= بواسطة - dxy. تتكاثر الحيوانات المفترسة بمعدل يتناسب مع عدد الفرائس التي يتم تناولها: x '= –ax + cxy (c> 0). نظام المعادلات
x '= –ax + cxy، (1)
y '= بواسطة - dxy ، (2)
لوصف مثل هذا السكان ، فإن المفترس هو فريسة ويسمى نظام الصواني - فولتيرا (أو النموذج).
في الفيزياء:
يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني في شكل معادلة تفاضلية
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x، t) ،
حيث m هي كتلة الجسم ، x هي إحداثيها ، F (x ، t) هي القوة المؤثرة على الجسم مع الإحداثي x في الوقت t. حله هو مسار الجسم تحت تأثير القوة المشار إليها.
